In [1]
<mml:math display="block" alttext="\[ S_r \left( \Delta  \right): = \left\{ {x = \left( {x_k } \right):\left( {k^r \left| {\Delta x_k } \right|} \right)_{k = 1}^\infty   \in c_0 } \right\} \] " id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>&#x394;</mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>&#x221E;</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>&#x2208;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math>

for <mml:math alttext="\[ r \geqslant 1 \] " id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&#x2265;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> is studied. In this paper, we generalize this space to <mml:math alttext="\[ S_r \left( {p,\Delta } \right) \] " id="E3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>
 for a sequence of strictly positive
reals. We give a characterization of the matrix classes 
<mml:math alttext="\[ \left( {S_r \left( {p,\Delta } \right),\ell _\infty  } \right) \]" id="E4" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x2113;</mml:mi><mml:mi>&#x221E;</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> and <mml:math alttext="\[ \left( {S_r \left( {p,\Delta } \right),\ell _\infty  } \right) \]" id="E5" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>&#x394;</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>&#x2113;</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Difference sequence spaces

Abstract

Copyright